Pois é, depois de quase 6 meses em abstinência de postagens qqq, voltarei a postar aqui... ^^

Um pequeno resumo sobre funções polinomiais do 2ºgrau

Definição:  Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2° grau, qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x)= ax² +bx+c, onde a, b , c são números reais e a diferentes de zero.

Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos 

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.

A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.

As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.


? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.

CURIOSIDADE:

Ao estudarmos qualquer assunto referente à matemática, nos perguntamos: “Onde isso é aplicado na vida real?”. Pois bem, veremos um caso de aplicação prática da função de 2º grau, o lançamento oblíquo de projéteis. O lançamento oblíquo é um movimento bidimensional, composto de dois movimentos unidimensionais e simultâneos, um vertical e um horizontal. Durante uma partida de futebol, quando o jogador faz um lançamento para um companheiro, observa-se que a trajetória descrita pela bola é uma parábola. A altura máxima atingida pela bola é o vértice da parábola e a distância que separa os dois jogadores é o alcance máximo da bola (ou objeto).

Vamos realizar um exemplo para melhor entendimento.
Exemplo 1. Uma empresa de armamentos bélicos realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está sendo fabricado. A empresa pretende determinar a altura máxima que o míssil atinge após o lançamento e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória descrita pelo míssil é uma parábola representada pela função y = – x² + 3x, onde y é a altura atingida pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também em quilômetros). Quais serão os valores encontrados pela empresa?

Solução: Sabemos que a trajetória do míssil descreve uma parábola representada pela função y = – x² + 3x e que essa parábola tem concavidade para baixo. Assim, a altura máxima que o míssil atinge será determinada pelo vértice da parábola, uma vez que o vértice é o ponto máximo da função. Teremos

O alcance máximo do míssil será a posição em que ele retornar ao solo novamente (momento em que atinge o alvo). Pensando no plano cartesiano, será a posição em que o gráfico da parábola intercepta o eixo x. Sabemos que para determinar os pontos onde a parábola cruza o eixo x basta fazer y = 0 ou – x² + 3x = 0. Assim, teremos:

Portanto, podemos afirmar que a altura máxima que o míssil atingirá será de 2,25 Km e o alcance máximo será de 3 km.

                                         Vídeo sobre funções polinomiais do 2°grau

Exercícios : 

1) A representação cartesiana da função y= ax²+bx+c é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:

(A) a>0, b>0 e c<0
(B) a<0, b<0 e c>0
(C) a<0, b<0 e c<0
(D) a>0, b<0 e c>0
(E) a>0, b<0 e c>0

_____________________________________________________________________________________________

2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?

(A) y= 2x²+3x-9
(B) y= -2x²+3x-9
(C) y= 2x²-3x-9
(D) y= -2x²-3x-9
(E) y= 2x²+3x+9

_________________________________________________________________________________

3) O valor mínimo do polinômio y= x²+bx+c, cujo gráfico é mostrado na figura, é:

(A) 
(B) 

(C) 

(D) 

(E) 

---

4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade  são os números x, tais que

(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 

5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y= -40x²+200x Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a

(A) 6,25 m, 5s
(B) 250 m, 0 s
(C) 250 m, 5s
(D) 250 m, 200 s
(E) 10.000 m , 5s

---

6) (UFRGS) Considere a função , definida por , com  e . O gráfico de f

(A) não intercepta o eixo das abscissas
(B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente
(C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto
(D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.
(E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.

---

7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação 

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E) 

---

8) A solução de  é

(A) (0, 1)
(B) (-∞, 0)U(1, +∞)
(C) (-1, 1)
(D) (-∞, -1)U(1,+∞)
(E) R

---

9) (UFRGS) Para que a prábola da equação  contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respectivamente,

(A)  e 

(B)  e 

(C)  e 

(D)  e 

(E)  e 

---

10) O vértice da parábola que corresponde à função  é

(A) (-2, -2)

(B) (-2, 0)

(C) (-2, 2)

(D) (2, -2)

(E) (2, 2)

Eventos envolvendo a matemática:

MÊS	DIA	TEMÁTICA - ATIVIDADE
JULHO	08 a 15	12TH INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION - 12 ICME Convention & Exhibition Center (COEX) – Seoul - Korea http://www.icme12.org/

8 a 15 de julho de 2012	The 12th International Congress on Mathematical Education
16 a 20 de setembro de 2013	VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática

De 26 de Fevereiro a 02 de Março de 2012

1º Simpósio Internacional sobre a incerteza Quantificação emodelagem estocástica (Uncertainties 2012) surge do interesse da comunidade científica em ter um fórumadequado para discussão de aspectos acadêmicos,científicos e técnicos de quantificação da incerteza em sistemas mecânicos.

Uncertainties 2012 será sediado no Maresias Beach Hotel,na praia de Maresias, São Sebastião - SP, e será realizadade 26 de fevereiro a 2 de março de 2012. Este primeiro encontro é organizado em nome da Comissão ABCM emModelagem Estocástica e Quantificação da Incerteza, com base na experiência adquirida na organização similar com temas de mini-simpósios em conferências anteriores, bemcomo reuniões anteriores realizadas na UniversidadeCatólica do Rio de Janeiro.

http://www.set.eesc.usp.br/uncertainties2012/

http://www.mat.ufrgs.br/~ppgem/eventos2011_2012.htm

Referências : 

www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php

http://www.matematica.tv/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segundo_grau/funcao_segundo_grau_11_01_exercicios.php

Funções polinomiais do 1° Grau

 Esta publicação tem como objetivo, demonstrar aos alunos do Ensino Fundamental e até mesmo do Ensino Médio,  de onde surgiram as equações, porque surgiram, como também trazer um pequeno resuno do que seria equação polinomial do 1° Grau.

 HISTÓRIA

Determinar as raízes de polinómios, ou "resolver equações algébricas", é um dos problemas mais antigos da matemática. Alguns polinômios, tais como:

f(x) = x² + 1

não possuem raízes dentro do conjunto dos números reais. Se, no entanto, o conjunto de candidatos possíveis for expandido ao conjunto dos números imaginários, ou seja, se se passar a tomar em conta o conjunto dos números complexos, então todo o polinómio (não-constante) possui pelo menos uma raiz (teorema fundamental da álgebra).

Existe uma diferença entre a aproximação de raízes e a determinação de fórmulas concretas que as definem. Fórmulas para a determinação de raízes de polinómios de grau até ao 4º são conhecidas desde o século XVI. Mas fórmulas para o 5º grau têm vindo a escapar aos investigadores já há algum tempo. Em 1824, Niels Henrik Abel provou que não pode haver uma fórmula geral (envolvendo apenas as operações aritméticas e radicais) para a determinação de raízes de polinómios de grau igual ou superior ao 5º em termos de coeficientes. Este resultado marcou o início da teoria de Galois, onde se aplica a um estudo detalhado das relações entre raízes de polinómios.

 Definição  Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Gráfico
    O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
    Exemplo:
    Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
    Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
    a)    Para   x = 0, temos   y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
    b)    Para   y = 0, temos   0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
    Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

x	y
0	-1
	0

                        Aqui segue um pequeno vídeo, sobre funções polinomiais

Seguem alguns exercícios de funções polinomiais do 1°grau :

01. (UNIFOR) A função f, do 1° grau, é definida por f(x) = 3x + k. O valor de k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5


02. (EDSON QUEIROZ - CE) O gráfico abaixo representa a função de ℝ em ℝ dada por f(x) = ax + b (a, b Îℝ). De acordo com o gráfico conclui-se que:
a) a < 0 e b >0
b) a < 0 e b < 0
c) a > 0 e b > 0
d) a > 0 e b < 0
e) a > o e b = 0


Resolva, em R, as inequações de 03 a 05

03. 2x - 10 < 4


04. -3x + 5 ³ 2


05. -(x - 2) ³ 2 - x


Resolva, em R, as inequações de 06 a 08

06.  x - 3 ³ 3 + x


07. -x + 1 £ x + 1


08. -x - 4 > -(4 -x)


09.  (MACK) Em R, o produto das soluções da inequação 2x - 3 £ 3 é:

a) maior que 8
b) 6
c) 2
d) 1
e) 0


10.  (UNICAMP) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e anota da terceira prova é multiplicada por 3. Os resultados após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por esse critério for maior ou igual a 6,5 o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda prova. Quanto precisará tirar na terceira prova para ser dispensado da recuperação?

OBS.: Eventos envolvendo Matemática :

XVIII Simposio Internacional de Métodos Matemáticos Aplicados a las Ciencias
De 21 a 24 de Fevereiro de 2012

O XVIII Simposio Internacional de Métodos Matemáticos Aplicados a las Ciencias que tendrá lugar en San José, Costa Rica, del 21 al 
24 de febrero de 2012

Sitio web:
http://www.cimpa.ucr.ac.cr/simmac/

TEMAS:
- Análisis de Datos, Estadística Multivariada, Clasificación
- Probabilidad, Procesos Estocásticos, Matemática Financiera, Control Óptimo

Uncertainties 2012
De 26 de Fevereiro a 02 de Março de 2012

 1º Simpósio Internacional sobre a incerteza Quantificação e modelagem estocástica (Uncertainties 2012) surge do interesse da comunidade científica em ter um fórum adequado para discussão de aspectos acadêmicos, científicos e técnicos de quantificação da incerteza em sistemas mecânicos.

Uncertainties 2012 ...

SYMPOSIUM ON THEORY OF MODELING AND SIMULATION (TMS/DEVS 2012)
De 26 a 29 de Março de 2012

CHAMADA DE TRABALHOS

 SIMPÓSIO DE TEORIA DE MODELAGEM E SIMULAÇÃO  (TMS / devs 2012)

26-29 março de 2012, o Hotel Florida, Orlando, FL, EUA.
           
                               Patrocinado pela
 A Sociedade para Modelagem e Simulação Internacional em cooperação com ACM / SIGSIM e ICST (pendente)

O objetivo ...

IX "WORKSHOP" BRASILEIRO DE OTIMIZAÇÃO CONTÍNUA
De 29 de Julho a 04 de Agosto de 2012

O IX "Workshop" Brasileiro de Otimização Contínua terá lugar no municí­pio de Luis Correia,  no estado do Piauí­, de 29 de julho a 4 de agosto de 2012. Entre os temas que  serão abordados incluem : questões teóricas, computacionais e de implementações, tanto em programação linear quanto não linear, incluindo ...

Mathematical Congress of the Americas MCA 2013
De 05 a 09 de Agosto de 2013

O website do primeiro Congresso de Matemática das
Américas, está no ar em www.mca2013.org

Foram escolhidos para plenaristas os seguintes nomes:  

  James Arthur (Toronto, Canada)
  Artur Avila (IMPA, Brasil)
  Manjul Bhargava (Princeton, USA)
  Luis Cafarelli ...