Definição: Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2° grau,
qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x)= ax² +bx+c, onde a,
b , c são números reais e a diferentes de zero.
Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com
a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando
temos .jpg)
As
funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em
situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado,
lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das
plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo,
receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
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As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola
intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos
uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante
? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:
? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
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? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.
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? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.
? < 0, a equação não possui raízes
reais. A parábola não intercepta o eixo x.
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CURIOSIDADE:
Ao estudarmos qualquer assunto referente à matemática, nos
perguntamos: “Onde isso é aplicado na vida real?”. Pois bem, veremos um caso de
aplicação prática da função de 2º grau, o lançamento oblíquo de
projéteis. O lançamento oblíquo é um movimento bidimensional, composto de dois
movimentos unidimensionais e simultâneos, um vertical e um horizontal. Durante
uma partida de futebol, quando o jogador faz um lançamento para um companheiro,
observa-se que a trajetória descrita pela bola é uma parábola. A altura máxima
atingida pela bola é o vértice da parábola e a distância que separa os dois
jogadores é o alcance máximo da bola (ou objeto).
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Vamos realizar um exemplo para melhor
entendimento.
Exemplo 1. Uma empresa de armamentos bélicos realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está sendo fabricado. A empresa pretende determinar a altura máxima que o míssil atinge após o lançamento e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória descrita pelo míssil é uma parábola representada pela função y = – x2 + 3x, onde y é a altura atingida pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também em quilômetros). Quais serão os valores encontrados pela empresa?
Exemplo 1. Uma empresa de armamentos bélicos realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está sendo fabricado. A empresa pretende determinar a altura máxima que o míssil atinge após o lançamento e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória descrita pelo míssil é uma parábola representada pela função y = – x2 + 3x, onde y é a altura atingida pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também em quilômetros). Quais serão os valores encontrados pela empresa?
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Solução: Sabemos que a trajetória do míssil descreve uma parábola representada pela função y = – x2 + 3x e que essa parábola tem concavidade para baixo. Assim, a altura máxima que o míssil atinge será determinada pelo vértice da parábola, uma vez que o vértice é o ponto máximo da função. Teremos
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O alcance máximo do míssil será a posição em que ele retornar ao solo novamente (momento em que atinge o alvo). Pensando no plano cartesiano, será a posição em que o gráfico da parábola intercepta o eixo x. Sabemos que para determinar os pontos onde a parábola cruza o eixo x basta fazer y = 0 ou – x2 + 3x = 0. Assim, teremos:
Portanto, podemos afirmar que a altura máxima que o míssil atingirá será de 2,25 Km e o alcance máximo será de 3 km.
Vídeo sobre funções polinomiais do 2°grau
Exercícios :
1) A representação cartesiana da função y= ax²+bx+c é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:
(A) a>0, b>0 e c<0
(B) a<0, b<0 e c>0
(C) a<0, b<0 e c<0
(D) a>0, b<0 e c>0
(E) a>0, b<0 e c>0
(B) a<0, b<0 e c>0
(C) a<0, b<0 e c<0
(D) a>0, b<0 e c>0
(E) a>0, b<0 e c>0
_____________________________________________________________________________________________
2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?
(A) y= 2x²+3x-9
(B) y= -2x²+3x-9
(C) y= 2x²-3x-9
(D) y= -2x²-3x-9
(E) y= 2x²+3x+9
(B) y= -2x²+3x-9
(C) y= 2x²-3x-9
(D) y= -2x²-3x-9
(E) y= 2x²+3x+9
_________________________________________________________________________________
3) O valor mínimo do polinômio y= x²+bx+c, cujo gráfico é mostrado na figura, é:
(A) 
(B)
(B)
(C) 
(D) 
(E) 
4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade 
são os números x, tais que
(A) 
(B)
(C)
(D)
(E)
(B)
(C)
(D)
(E)
5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y= -40x²+200x Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a
(A) 6,25 m, 5s
(B) 250 m, 0 s
(C) 250 m, 5s
(D) 250 m, 200 s
(E) 10.000 m , 5s
(B) 250 m, 0 s
(C) 250 m, 5s
(D) 250 m, 200 s
(E) 10.000 m , 5s
6) (UFRGS) Considere a função 
, definida por 
, com 
e 
. O gráfico de f
(A) não intercepta o eixo das abscissas
(B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente
(C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto
(D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.
(E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.
(B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente
(C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto
(D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.
(E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.
7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
8) A solução de 
é
(A) (0, 1)
(B) (-∞, 0)U(1, +∞)
(C) (-1, 1)
(D) (-∞, -1)U(1,+∞)
(E) R
(B) (-∞, 0)U(1, +∞)
(C) (-1, 1)
(D) (-∞, -1)U(1,+∞)
(E) R
9) (UFRGS) Para que a prábola da equação 
contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respectivamente,
(A) 
e 
(B) 
e 
(C) e
(D) e
(E) 
e
10) O vértice da parábola que corresponde à função 
é
(A) (-2, -2)
(B) (-2, 0)
(C) (-2, 2)
(D) (2, -2)
(E) (2, 2)
Eventos envolvendo a matemática:| MÊS |
DIA
| TEMÁTICA - ATIVIDADE |
| JULHO |
08 a 15
| 12TH INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION - 12 ICME Convention & Exhibition Center (COEX) – Seoul - Korea http://www.icme12.org/ |
| 8 a 15 de julho de 2012 | The 12th International Congress on Mathematical Education |
| 16 a 20 de setembro de 2013 | VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática |
De 26 de Fevereiro a 02 de Março de 2012
1º Simpósio Internacional sobre a incerteza Quantificação emodelagem estocástica (Uncertainties 2012) surge do interesse da comunidade científica em ter um fórumadequado para discussão de aspectos acadêmicos,científicos e técnicos de quantificação da incerteza em sistemas mecânicos.
Uncertainties 2012 será sediado no Maresias Beach Hotel,na praia de Maresias, São Sebastião - SP, e será realizadade 26 de fevereiro a 2 de março de 2012. Este primeiro encontro é organizado em nome da Comissão ABCM emModelagem Estocástica e Quantificação da Incerteza, com base na experiência adquirida na organização similar com temas de mini-simpósios em conferências anteriores, bemcomo reuniões anteriores realizadas na UniversidadeCatólica do Rio de Janeiro.
Referências :
0.
e outro ponto é 
.
