Um pequeno resumo sobre funções polinomiais do 2ºgrau

Definição:  Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2° grau, qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x)= ax² +bx+c, onde a, b , c são números reais e a diferentes de zero.

Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos 

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.

A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.

As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.


? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.

CURIOSIDADE:

Ao estudarmos qualquer assunto referente à matemática, nos perguntamos: “Onde isso é aplicado na vida real?”. Pois bem, veremos um caso de aplicação prática da função de 2º grau, o lançamento oblíquo de projéteis. O lançamento oblíquo é um movimento bidimensional, composto de dois movimentos unidimensionais e simultâneos, um vertical e um horizontal. Durante uma partida de futebol, quando o jogador faz um lançamento para um companheiro, observa-se que a trajetória descrita pela bola é uma parábola. A altura máxima atingida pela bola é o vértice da parábola e a distância que separa os dois jogadores é o alcance máximo da bola (ou objeto).

Vamos realizar um exemplo para melhor entendimento.
Exemplo 1. Uma empresa de armamentos bélicos realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está sendo fabricado. A empresa pretende determinar a altura máxima que o míssil atinge após o lançamento e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória descrita pelo míssil é uma parábola representada pela função y = – x² + 3x, onde y é a altura atingida pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também em quilômetros). Quais serão os valores encontrados pela empresa?

Solução: Sabemos que a trajetória do míssil descreve uma parábola representada pela função y = – x² + 3x e que essa parábola tem concavidade para baixo. Assim, a altura máxima que o míssil atinge será determinada pelo vértice da parábola, uma vez que o vértice é o ponto máximo da função. Teremos

O alcance máximo do míssil será a posição em que ele retornar ao solo novamente (momento em que atinge o alvo). Pensando no plano cartesiano, será a posição em que o gráfico da parábola intercepta o eixo x. Sabemos que para determinar os pontos onde a parábola cruza o eixo x basta fazer y = 0 ou – x² + 3x = 0. Assim, teremos:

Portanto, podemos afirmar que a altura máxima que o míssil atingirá será de 2,25 Km e o alcance máximo será de 3 km.

                                         Vídeo sobre funções polinomiais do 2°grau

Exercícios : 

1) A representação cartesiana da função y= ax²+bx+c é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:

(A) a>0, b>0 e c<0
(B) a<0, b<0 e c>0
(C) a<0, b<0 e c<0
(D) a>0, b<0 e c>0
(E) a>0, b<0 e c>0

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2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?

(A) y= 2x²+3x-9
(B) y= -2x²+3x-9
(C) y= 2x²-3x-9
(D) y= -2x²-3x-9
(E) y= 2x²+3x+9

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3) O valor mínimo do polinômio y= x²+bx+c, cujo gráfico é mostrado na figura, é:

(A) 
(B) 

(C) 

(D) 

(E) 

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4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade  são os números x, tais que

(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 

5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y= -40x²+200x Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a

(A) 6,25 m, 5s
(B) 250 m, 0 s
(C) 250 m, 5s
(D) 250 m, 200 s
(E) 10.000 m , 5s

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6) (UFRGS) Considere a função , definida por , com  e . O gráfico de f

(A) não intercepta o eixo das abscissas
(B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente
(C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto
(D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.
(E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.

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7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação 

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E) 

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8) A solução de  é

(A) (0, 1)
(B) (-∞, 0)U(1, +∞)
(C) (-1, 1)
(D) (-∞, -1)U(1,+∞)
(E) R

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9) (UFRGS) Para que a prábola da equação  contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respectivamente,

(A)  e 

(B)  e 

(C)  e 

(D)  e 

(E)  e 

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10) O vértice da parábola que corresponde à função  é

(A) (-2, -2)

(B) (-2, 0)

(C) (-2, 2)

(D) (2, -2)

(E) (2, 2)

Eventos envolvendo a matemática:

MÊS	DIA	TEMÁTICA - ATIVIDADE
JULHO	08 a 15	12TH INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION - 12 ICME Convention & Exhibition Center (COEX) – Seoul - Korea http://www.icme12.org/

8 a 15 de julho de 2012	The 12th International Congress on Mathematical Education
16 a 20 de setembro de 2013	VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática

De 26 de Fevereiro a 02 de Março de 2012

1º Simpósio Internacional sobre a incerteza Quantificação emodelagem estocástica (Uncertainties 2012) surge do interesse da comunidade científica em ter um fórumadequado para discussão de aspectos acadêmicos,científicos e técnicos de quantificação da incerteza em sistemas mecânicos.

Uncertainties 2012 será sediado no Maresias Beach Hotel,na praia de Maresias, São Sebastião - SP, e será realizadade 26 de fevereiro a 2 de março de 2012. Este primeiro encontro é organizado em nome da Comissão ABCM emModelagem Estocástica e Quantificação da Incerteza, com base na experiência adquirida na organização similar com temas de mini-simpósios em conferências anteriores, bemcomo reuniões anteriores realizadas na UniversidadeCatólica do Rio de Janeiro.

http://www.set.eesc.usp.br/uncertainties2012/

http://www.mat.ufrgs.br/~ppgem/eventos2011_2012.htm

Referências : 

www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php

http://www.matematica.tv/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segundo_grau/funcao_segundo_grau_11_01_exercicios.php